Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的x,y属于R都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立

Answer 1

1
证明：
令x=y=0
得到f(0)=f(0)+f(0)-1
所以f(0)=1

令y= -x
那么f(0)=f(x)+f(-x)-1=1
所以f(x)+f(-x)=2
所以f(-x)-1= -[f(x)-1]
所以y=f(x)-1是个奇函数。

2
设x1>x2
即x1-x2>0

由1中得到f(-x2)=2-f(x2)

根据x>0时，f(x)>1
那么f(x1-x2)>1
那么f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)-1=f(x1)+[2-f(x2)]-1=f(x1)-f(x2)+1 >1
所以得到了f(x1)-f(x2) >0
即对任意x1>x2, f(x1)>f(x2)
所以f(x)是个R上的增函数。

3
由于f(4)=5
那么f(4)=f(2)+f(2)-1=5
所以f(2)=3
所以f(3m^2-m-2)<3=f(2)
因为f(x)是个R上的增函数
所以3m^2-m-2 <2
解得
m∈(-1, 4/3)