Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F

求证：B在DF的垂直平分线上

Answer 1

在Rt△ACD和Rt△AED中，
因为∠ACD=90°，∠CED=90°,
所以∠CAD=∠ECD
因为BF∥AC，∠ACD=∠CBF=90°
在Rt△ACD和Rt△CBF中，
AC=BC,
∠CAD=∠FCB,
所以Rt△ACD和Rt△CBF全等 BF=CD
又因D是BC的中点，所以BF=BD,△DBF是等腰三角形
因为BF∥AC，
所以，∠CAB=∠ABF,
又因AB=BC
,所以，∠ACB=∠CBA=∠AB,FAB是,△DBF顶角的角平分线，
所以 AB垂直平分DF

追问

sorry，忘发图片，能再看下嘛

追答

.......................

Answer 2

证明：

因为：∠ACB=90°，BF//AC

所以：∠CBF=90°，BF⊥BC

因为：CE⊥AD

所以：∠BCF+∠ADC=∠ACB=90°=∠BCF+∠CFB

所以：∠ADC=∠CFB

因为：∠ACD=∠CBF=90°

因为：AC=CB

所以：RT△ACD≌RT△CBF（角角边）

所以：CD=BF

因为：D是BC的中点，CD=BD

所以：CD=BD=BF

所以：△DBF是等腰RT△

因为：BF//AC

所以：∠FBA=∠CAB=45°

所以：∠FBA=∠CBA=45°=∠DBF/2

所以：AB是等腰RT△DBF斜边上的中垂线（三线合一）

所以：点B在DF的垂直平分线上

追问

不是这个图额

追答

图是符合题目意思的