Question

已知二次函数f（x）＝ax∧2+bx+c（c＞0且为常数）的导函数的图象如图所示（就是过（0，1）

已知二次函数f（x）＝ax∧2+bx+c（c＞0且为常数）的导函数的图象如图所示（就是过（0，1）和（-1/2，0）的直线） （1）求函数f（x）的解析式（用含c的式子表示） （2）另g（x）＝f（x）/x，求y＝g（x）在[1，2]上的最大值

Answer 1

（1）由图可知导函数为y=2x+1
所以f‘（x）=2ax+b=2x+1
a=1，b=1
f（x）=x∧2+x+c

Answer 2

1)因为f（x）＝ax∧2+bx+c（c＞0且为常数）的导函数为f'(x)=2ax+b,所以这条直线过（0，1）和（-1/2，0）这两点，所以
b=1,a=1,所以f（x）＝x∧2+x+c
2)因为g（x）＝f（x）/x=x+c/x+1,为一个对勾函数，因为c＞0且为常数，
所以函数在（0，√c]上减，在[√c,﹢∞)上增，
所以要分类讨论，当c≦1时g（x）在[1，2]上增，所以最大值为g（2）=3+c/2，
当c≥4时所以g（x）在[1，2]上减，所以最大值为g（1）=2+c
当1＜c＜4时，g（x）在[1，√c]上减，在[√c，2]上增所以最大值为g（1）或g（2）
因为g（2）-g（1）=1-c/2，所以当它大于0时，c＜2，当它小于0时，2＜c
所以综上所述，g（x）的最大值①=3+c/2，c∈（0,2]，②=2+c，c∈（2，﹢∞）