Question

已知函数f(x)=x^3+3|x-a|

已知函数f(x)=x^3+3|x-a|
（1）若f（x）在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）
（2）设b属于R，若[f（x）+b]^2≤4，对x属于[-1,1]恒成立，求3a+b的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2-
b
6a
）
当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；
（ⅱ） 要证f（x）+|2a-b|+a≥0，即证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．
亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，
∵g（x）=-4ax3+2bx+a-b，∴令g′（x）=-12ax2+2b=0，
当b≤0时，x＝

b
6a

；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时g（x）的最大值为：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，
∴g（x）max=max{g（

b
6a

），g（1）}={
4
3
b

b
6a

+a−b，−3a+b}=

4
3
b

b
6a

+a−b ， b≤6a

−3a+b ， b＞6a

∴g（x）max≤|2a-b|﹢a；
综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：

b≥2a
b−a≤1

或

b＜2a
3a−b≤1

，目标函数为z=a+b．
作图如右：
由图易得：a+b的取值范围为（-1，3]

追问

第一问应该能算出具体的数字来的