Question

已知f(x)=x+a/x^2+bx+1是奇函数，且x属于[-1，1]

求f(x)解析式，判断它的单调性，并证明

Answer 1

解：f(x)为奇函数,则满足f(0)=0,f(0)=a,所以a=0 所以f(x)=x/(x^2+bx+1) f(-x)=-x/(x^2-bx+1) f(-x)=-f(x)=-x/(x^2+bx+1) 所以-b=b,得b=0 f(x)=x/(x^2+1) f(x)在[-1,1]单调增,(-∞,-1)∪(1,+∞)单调减 证明：设x1<x2 f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)=[x1x2(x2-x1)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]=[(x1-x2)(1-x1x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)] x1<x2,x1-x2<0,[(x1^2+1)(x2^2+1)]>0, 当-1<x1<x2<1时1-x1x2>0 所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)即f(x)在[-1,1]单调递增. 当x1<x2<-1或1<x1<x21-x1x2<0,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),单调递减 谢谢采纳。