Question

高等数学，常微分方程，请问图中的结果详细的事怎么算出来的？还有文中铅笔部分，请问该怎么解释？一下加

高等数学，常微分方程，请问图中的结果详细的事怎么算出来的？还有文中铅笔部分，请问该怎么解释？一下加绝对值，一下不用加，很疑惑，谢谢。

Answer 1

这是函数 x 对自变量 y 的一阶线性微分方程，你还不习惯吧 ！
只要不能确认 x>0, 就要加绝对值符号。
若确认，可不加。例 ∫2xdx/(1+x^2）= ln（1+x^2）+C

追问

您好，请问能不能给我个过程？ 我不是很明白它的答案是怎么出来的

追答

原题： dy/dx=(1-y)/(y-x), （y是x的函数）
y≠1 时，两边取倒数，得 dx/dy=(y-x)/(1-y)=-x/(1-y)+y/(1-y),
即 dx/dy+[1/(1-y)]x=y/(1-y),
现在把x看作y的函数，即y是自变量，x是因变量，
化为了x 的一阶线性方程，标准形式为
dx/dy+p(y)x=Q(y), 其中 p(y)=1/(1-y), Q(y)=y/(1-y).
请在书上找到一阶线性微分方程求解公式：
代公式, 注意 公式中的y，是这里的x，
公式中的p(x), Q(x), 是这里的 p(y)=1/(1-y), Q(y)=y/(1-y).
得 x = e^[-∫p(y)dy]{C+∫Q(y)e^[∫p(y)dy]dy}
= e^[-∫dy/(1-y)]{C+∫[y/(1-y)]e^[∫dy/(1-y)]dy}
= e^[∫d(1-y）/(1-y)]{C+∫[y/(1-y)]e^[-∫d(1-y)/(1-y)]dy}
当 y>1 时:
x = e^[ln(1-y)]{ C+∫[y/(1-y)]e^[-ln(1-y)]dy}
= (1-y){ C+∫[y/(1-y)^2]dy} (化部分分式）
= (1-y) { C+∫[1/(1-y)^2-1/(1-y)]dy}
= (1-y) { C-∫[1/(1-y)^2-1/(1-y)]d(1-y)}
= (1-y) [ C+1/(1-y)+ln(1-y)]
= C(1-y)+1+(1-y)ln(1-y). ①
当 y<1 时:
x = e^[ln(y-1)]{ C+∫[y/(1-y)]e^[-ln(y-1)]dy}
= (y-1){ C-∫[y/(1-y)^2]dy} (化部分分式）
= (y-1) { C-∫[1/(1-y)^2-1/(1-y)]dy}
= (y-1) { C+∫[1/(1-y)^2-1/(1-y)]d(1-y)}
= (y-1) [ C-1/(1-y)-ln(y-1)]
= C(y-1)+1-(y-1)ln(y-1). ②
综合①②，得 x= (1-y)ln|1-y|+C|1-y|+1, 即书中答案。