Question

已知x,y满足方程x^2+y^2-4x+1=0(1)求y/x单位取值;(2)求x-y的取值范围;(3)求(x+2)^2+(y-2)^2的取值范围

Answer 1

1. 解：原方程可化为：
    (x-2)²+y²=3
   这是圆心在（2,0）半径等于√3的圆，满足该方程的点P(x,y)在圆上,并且y/x为直线OP的斜率。
   显然，当OP与圆相切，并且位于第一象限时，其斜率最大。
   令OP的方程为 y=kx，代入原方程得
     (1+k²)x²-4x+1=0
   令判别式 △=16-4(1+k²)=0
   解出k得：k=±√3
   最后得到：y/x的最大值为√3,最小值为-√3

2. 令x-y=k y=x-k

   根据图像当直线y=x-k与圆上切和下切时，k最小和最大

   根据距离公式

   |2-0-k|/v2=v3  |k-2|=v6 k=v6+2 最大k=2-v6最小

   所以x-y最小是2-v6,最大是2+v6

3. 表示（x,y)到（-2,2）的距离

   最大距离是（2,0）到（-2,2）的距离v16+4=2v5  所以最大距离是2v5+v3，最小距离是2v5-v3

Answer 2

1.
设y-x=b,即y=x+b
代入x^2＋y^2-4x+1＝0中
则x^2+(x+b)^2-4x+1=0
2x^2+(2b-4)x+b^2+1=0.
因为x有实数解
所以△ =(2b-4)^2-4*2*(b^2+1)≥0
即b^2+4b-2≤0
解得-2-√6≤b≤-2+√6
即y-x的最大值和最小值分别为:-2+√6,和-2-√6

2.
x^2＋y^2-4x+1＝0即(x-2)^2+x^2=3
表示以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆
所以x^2＋y^2-4x+1＝0上到原点的最远点为（2+√3，0），最近点为（2-√3，0）
而x^2＋y^2表示圆上的点到原点距离的平方
所以x^2＋y^2的最大值为（2+√3）^2=7+4√3,最小值为（2-√3）^2=7-4√3
希望可以帮助到你

Answer 3

配方：(x-2)^2+y^2=3
这是半径为√3，圆心(2,0)的圆C
1)k=y/x表示圆上一点与原点连线的斜率
当y=kx与圆相切时，k取最大或最小值。
相切时，圆心到直线的距离=半径，则有：
|2k|/√(1+k^2)=√3
即4k^2=3k^2+3
k^2=3
k=√3, 或-√3
因此y/x的取值范围是[-√3,√3]
2)k=x-y, 表示直线y=x-k, 它是一组平行直线族，k的取值最大最小值为与圆相切时取得。
同样，有：|2-k|/√(1+k^2)=√3
4-4k+k^2=3k^2+3
2k^2+4k-1=0
k=-1±√2
因此x-y的取值范围是[-1-√2,-1+√2]
3)k=(x+2)^2+(y-2)^2, 这表示圆心(-2,2),半径为√k的圆族
k的取值范围是当它与圆C相切时取得
外切时，圆心距=半径和，即√[(-2-2)^2+2^2]=2√5=√3+√k, 得：k=(2√5-√3)^2=23-4√15
内切时，圆心距=半径差，即2√5=√k-√3,得：k=(2√5+√3)^2=23+4√15
故取值范围是[23-4√15,23+4√15]