Question

设A,B,C均为n阶方阵,E为n阶单位阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C=

设A,B,C均为n阶方阵,E为n阶单位阵,
则由于B=E+AB，则(E-A) B=E,则E-A和B均可逆，且B=（E-A)^-1
又因为C=A+CA，则C(E-A)=A,C=A(E-A)^-1
所以B-C=((E-A)^-1)-(A(E-A)^-1)=(E-A)((E-A)^-1)=E
问下最后一步((E-A)^-1)-(A(E-A)^-1)=(E-A)((E-A)^-1)=E等式如何变化的？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

((E-A)^-1)-(A(E-A)^-1)=(E-A)((E-A)^-1)=E

第一个(E-A)^-1可以看成是E*(E-A)^-1，这个和随便一个数可以看成它自己和1的乘积道理一样。只不过到了矩阵里面，任何矩阵都可以看成它自己和单位矩阵E的乘积。

对(E-A)^-1提取公因式(E-A)^-1-A(E-A)^-1=E*(E-A)^-1-A(E-A)^-1=(E-A)^-1*（E-A）=E（E-A的逆和它自己的乘积，就是单位矩阵）