Question

平面上有四个点

平面上有四个点,其中任何三个点都不在一条直线上,请回答,以这些点为顶点的三角形共有多少个?最多有多少个锐角三角形,并说明理由.
如果平面上有五个点,其它条件同上,最多有几个锐角三角形?

Answer 1

任取3个点，有4个三角形~
四边形内角和360度，故必有一个非锐角，至多3个锐角三角形

5个点取3个点，有10个三角形，若构成凸五边形，必有一个内角钝角，去掉这个定点，剩下的四边形还有一个非锐角，这个角及其在无边形中包含它的角各在一个钝角三角形内，所以最多剩下7个锐角三角形。非凸显然不超过7个

Answer 2

4选3是 4个，最多3个锐角三角形，因为一个4边形最多有3个内角是锐角
每个内角必然是一个三角形的顶角，所以最多有3个，然后举出一个实例说明可以是3个就好了

5选3是 10个，最多6个锐角三角形，因为五边形至多有3个内角为锐角（容易用反证法验证 A+B+C+D+E = 540, A+B+C+D<360, E>180)丢掉一个不是锐角的角，剩下四边形里最多有3个锐角三角形
由此分析至少有4个三角形不是锐角三角形
举出一个6个三角形的实例就完成了

Answer 3

从4中选3个 和从4个中选1个是一样的 所以有4种 因为一个4边形最多有3个内角是锐角
每个内角必然是一个三角形的顶角，所以最多有3个
5个点取3个点，有10个三角形，若构成凸五边形，必有一个内角钝角，去掉这个定点，剩下的四边形还有一个非锐角，这个角及其在无边形中包含它的角各在一个钝角三角形内，所以最多剩下7个锐角三角形。非凸显然不超过7个

Answer 4

排列组合:
C(4,3)=4 C( 5,3)=10
锐角
4时,类似矩形让一个角稍大,其他,就全锐角
就3个
5时,在正方形 中间加一个点 类推
3+3=6

Answer 5

排列与组合
C43=4.C53=10