Question

（人教版）已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙

（人教版）已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E．（1）如图①，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并写出结论（不需要证明）．

Answer 1

（1）证明：如图①，连接OQ， ∵OB=OQ， ∴∠OBP=∠OQB， ∵OA⊥OB， ∴∠BQA= 1 2 ∠AOB= 1 2 ×90°=45°， ∵EQ是切线， ∴∠OQE=90°， ∴∠OBP+∠AQE=∠OQB+∠AQE=90°-∠BQA=90°-45°=45°； （2）如图②，连接OQ， ∵OB=OQ， ∴∠OBQ=∠OQB， ∵OA⊥OB， ∴∠BQA= 1 2 ×（360°-90°）=135°， ∴∠OQA=∠BQA-∠OQB=135°-∠OBQ， ∵EQ是切线， ∴∠OQE=90°， ∴135°-∠OBQ+∠AQE=90°， 整理得，∠OBQ-∠AQE=45°， 即∠OBP-∠AQE=45°．