Question

已知：如图所示，直线l的解析式为y= 3 4 x-3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．（1）求A、B

已知：如图所示，直线l的解析式为y= 3 4 x-3，并且与x轴、y轴分别相交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位/每秒的速度向x轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l相切；（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以0 .5个单位/秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？

Answer 1

（1）在y= 3 4 x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，故得A、B两的坐标为 A（4，0），B（0，-3）． （2分） （2）若动圆的圆心在C处时与直线l相切，设切点为D，如图所示． 连接CD，则CD⊥AD． （3分） 由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，可知Rt△ACD ∽ Rt△ABO， ∴ CD BO = AC AB ，即 1 3 = AC 5 ，则AC= 5 3 ． （4分） 此时OC= 4- 5 3 = 7 3 ，t= s v = 7 3 ÷0.4= 35 6 （秒）． （5分） 根据对称性，圆C还可能在直线l的右侧，与直线l相切， 此时OC= 4+ 5 3 = 17 3 ． （7分） t= s v = 17 3 ÷0.4= 85 6 （秒）． 答：（略）．（8分） （3）设在t秒，动圆的圆心在F点处，动点在P处，此时OF=0.4t，BP=0.5t，F点的坐标为（0.4t，0），连接PF， ∵ OF BP = 0.4t 0.5t = 4 5 ，又 OA BA = 4 5 ， ∴ OF BP = OA BA ， ∴FP ∥ OB，∴PF⊥OA（9分） ∴P点的横坐标为0.4t， 又∵P点在直线AB上， ∴P点的纵坐标为0.3t-3， 可见：当PF=1时，P点在动圆上，当0≤PF＜1时，P点在动圆内．（10分） 当PF=1时，由对称性可知，有两种情况： ①当P点在x轴下方时，PF=-（0.3t-3）=1，解之得： t= 20 3 ； ②当P点在x轴上方时，PF=0.3t-3=1，解之得： t= 40 3 ． （11分） ∴当时 20 3 ≤t≤ 40 3 时，0≤PF≤1，此时点P在动圆的圆面上，所经过的时间为 40 3 - 20 3 = 20 3 ， 答：动点在动圆的圆面上共经过了 20 3 秒． （12分）