Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 两个焦点为F 1 、F

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 两个焦点为F 1 、F 2 ，上顶点A（0，b），△AF 1 F 2 为正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，直线F 1 A上有一动点P，求|PF 2 |+|PO|的最小值．

Answer 1

（1）由题设得 a=2c a+a+2c=6 a 2 = b 2 + c 2 ， 解得：a=2，b= 3 c=1， 故C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ，离心率e= 1 2 ． （2）直线F 1 A的方程为 y= 3 (x+1) ， 设点0关于直线F 1 A对称的点为M（x 0 ，y 0 ），则 y 0 x 0 ? 3 =-1 y 0 2 = 3 ( x 0 2 +1) ? x 0 =- 3 2 y 0 = 3 2 ， 所以点M的坐标为 (- 3 2 ， 3 2 ) ， ∵|PO|=|PM|，|PF 2 |+|PO|=|PF 2 |+|PM|≥|MF 2 |， |PF 2 |+|PO|的最小值为 |M F 2 |= (- 3 2 -1) 2 + ( 3 2 -0) 2 = 7 ．