Question

已知{a n }是等比数列，公比q＞1，前n项和为 S n ，且 S 3 a 2 = 7 2

已知{a n }是等比数列，公比q＞1，前n项和为 S n ，且 S 3 a 2 = 7 2 ， a 4 =4，数列 b n 满足： a b n 2n+1 =2，n=1，2，… （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设数数{b n b n+1 }的前n项和为T n ，求证 1 3 ≤ T n ＜ 1 2 (n∈N*) ．

Answer 1

（I） S 3 a 2 = a 1 + a 1 q+ a 1 q 2 a 1 q = 1+q+ q 2 q = 7 2 ， ∴整理得2q 2 -5q+2=0，解之得q=2（舍 1 2 ） 由此可得a 1 = a 4 q 3 = 1 2 ，得数列{a n }的通项公式为a n =a 1 q n-1 =2 n-2 ， ∴a 2n+1 =2 2n-1 ，结合 a 2n+1 b n =2得b n = log   a 2n+1 2 = 1 2n-1 ； 可得{b n }的通项公式为b n = 1 2n-1 ； （II）根据（I）的结论，得 b n b n+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 （ 1 2n-1 - 1 2n+1 ） 可得T n = 1 2 [（1- 1 3 ）+（ 1 3 - 1 5 ）+…+（ 1 2n-1 - 1 2n+1 ）]= 1 2 （1- 1 2n+1 ） ∵n∈N * ，∴0＜ 1 2n+1 ≤ 1 3 ，得 2 3 ≤1- 1 2n+1 ＜1 因此，T n = 1 2 （1- 1 2n+1 ）∈[ 1 3 ， 1 2 ）， 即不等式 1 3 ≤ T n ＜ 1 2 (n∈N*) 成立．