Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an+Sn=n．（1）设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an+Sn=n．（1）设bn=an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1（n≥2），求{cn}的通项公式．

Answer 1

（1）由a₁+S₁=1及a₁=S₁得a₁=

1

2

．
又由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1，
得a_n+1-a_n+a_n+1=1，∴2a_n+1=a_n+1．
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，即2b_n+1=b_n．
∴数列{b_n}是以b₁=a₁-1=-

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）：由（1）知b_n=-

1

2

?（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）ⁿ，
∴a_n=-（

1

2

）ⁿ+1．
∴c_n=-（

1

2

）ⁿ+1-[-（

1

2

）^n-1+1]
=（

1

2

）^n-1-（

1

2

）ⁿ=（

1

2

）^n-1（1-

1

2

）=（

1

2

）ⁿ（n≥2）．
又c₁=a₁=

1

2

也适合上式，
∴c_n=（

1

2

）ⁿ．