Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-4an-1+3Sn-1（n≥2）（I）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若b

已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-4an-1+3Sn-1（n≥2）（I）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若bn=n?an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），
∴3S_n-3S_n-1=5a_n-4a_n-1（n≥2），
∴an＝2an?1 ，  

an

an?1

＝2，…（3分）
又∵a₁=2，
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，…（4分）
∴an＝2?2n?1＝2n．…（5分）
（Ⅱ）由（I）中an＝2?2n?1＝2n
∴bn＝n?2n，
Tn＝1?21+2?22+3?23+…+n?2n，
2Tn＝1?22+2?23+…+(n?1)?2n+n?2n+1．…（8分）
两式相减得：?Tn＝21+22+…+2n?n?2n+1，
∴?Tn＝

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，…（11分）
∴Tn＝2+(n?1)?2n+1．…（12分）