设f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且limx→0f(x)x=a，讨论级数∞n＝1f(1n)，∞n＝1(?1)nf(1n)的收
设f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且limx→0f(x)x=a，讨论级数∞n＝1f(1n)，∞n＝1(?1)nf(1n)的收敛性和绝对收敛性．...
设f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且limx→0f(x)x=a，讨论级数∞n＝1f(1n)，∞n＝1(?1)nf(1n)的收敛性和绝对收敛性．
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（本题满分10分）
解：因f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且
＝a，可得f（0）=0，f'（a）=a
设f''（0）=2b，由泰勒公式f(
)＝a(
)+b(
)2+o(
)2，(n→∞)
先看级数
f(
)，显然当a≠0时，由
＝a≠0，可知
f(
)发散．
再看级数
(?1)nf(
)，a≠0不妨设a＞0（a＜0时可讨论级数
(?1)nf(?
)．
由a＝f′(0)＝
f′(x)＞0，在x=0附近f'（x）＞0，f（x）单调递增，从而f(
)单调递减，由
f(
)＝f(0)＝0，故由莱布尼茨判别法知级数
(?1)nf(?
)收敛且为条件收敛．
当a=0时，由
＝|b|，可得
解：因f（x）在x=0的某邻域有连续的二阶导数，且
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
设f''（0）=2b，由泰勒公式f(
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
先看级数
| ∞ |
 |
| n＝1 |
| 1 |
| n |
| lim |
| x→∞ |
f(
| ||
|
| ∞ |
|
| n＝1 |
| 1 |
| n |
再看级数
| ∞ |
|
| n＝1 |
| 1 |
| n |
| ∞ |
|
| n＝1 |
| 1 |
| n |
由a＝f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| 1 |
| n |
| lim |
| x→∞ |
| 1 |
| n |
| ∞ |
|
| n＝1 |
| 1 |
| n |
当a=0时，由
| lim |
| x→∞ |
|f(
| ||
(
|
| ∞ |
|
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