Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF平分∠BAC交BC于点E，交⊙O于点F，BD平分∠ABC交AF于点D，过点F作FH∥BC．

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF平分∠BAC交BC于点E，交⊙O于点F，BD平分∠ABC交AF于点D，过点F作FH∥BC．（1）求证：FH是⊙O的切线；（2）求证：BF=DF；（3）若EF=3，DE=4，求线段AD的长．

Answer 1

（1）连接OB、OC、OF，设OF与BC交于点G，如图1，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF．
∵∠BAF=

1

2

∠BOF，∠CAF=

1

2

∠COF，
∴∠BOF=∠COF．
∵OB=OC，
∴OG⊥BC，即∠OGC=90°．
∵FH∥BC，
∴∠OGC=∠OFH．
∴∠OFH=90°．
∵FH经过OF的外端，且OF⊥FH，
∴FH是⊙O的切线．

（2）如图2，
∵AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD．
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠BAF=∠CBF．
∴∠BDF=∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD=∠DBF．
∴FB=FD．

（3）如图2，
∵EF=3，DE=4，
∴FB=FD=FE+DE=3+4=7．
∵∠FBE=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB．
∴

BF

AF

=

EF

BF

．
∴FB²=FE?FA．
∴49=3FA．
∴FA=

49

3

．
∴AD=FA-FD=

49

3

-7=

28

3

．
∴线段AD的长为

28

3

．