Question

设函数f（x）=ex-ax-2．（Ⅰ）求函数f（x）=ex-ax-2的图象在点A（0，-1）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的

设函数f（x）=ex-ax-2．（Ⅰ）求函数f（x）=ex-ax-2的图象在点A（0，-1）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=e^x-ax-2，x∈R，f′（x）=e^x-a，x∈R，f′（0）=1-a，
函数f（x）=e^x-ax-2的图象在点A（0，-1）处的切线方程为y=（1-a）x-1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，x∈R．
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
所以，f（x）在区间（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（ III）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故当x＞0时，(x?k)f/(x)+x+1＞0?k＜

x+1

ex?1

+x(x＞0)．①
令g(x)＝

x+1

ex?1

+x，则g/(x)＝

?xex?1

(ex?1)2

+1＝

ex(ex?x?2)

(ex?1)2

．
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0．
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．
设此零点为α，则α∈（1，2）．当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；
所以，g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．由g′（α）=0，可得e^α=α+2，
所以，g（α）=α+1∈（2，3）．由于①式等价于k＜g（α）．
故整数k的最大值为2．