Question

已知，角A,B,C,为三角形ABC的三个内角，其对边分别为 a,b,c,若m=(-cosa/2,s

已知，角A,B,C,为三角形ABC的三个内角，其对边分别为 a,b,c,若m=(-cosa/2,sina/2),n=(cosa/2,sina/2),a=2又根号三，且m*n=1/2 1.求b+c的取值范围 2.求三角形ABC的面积的最大值

Answer 1

1.
向量m•向量n=1/2
向量m•向量n
= (-cosA/2,sinA/2)*(cosA/2,sinA/2)
=-cos²A/2+sin²A/2
=-(cos²A/2-sin²A/2）
=-cosA
所以cosA=-1/2
A=120°
△ABC的面积S=√3,则1/2*b*c*sin120=√3 所以bc=4.
a=2√3,根据余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bccos120,
即12=b^2+c^2+bc,
12=(b+c)^2-bc,因为bc=4
所以b+c=4.
2.
a=2√3,根据余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bccos120,
即12=b^2+c^2+bc,
12=(b+c)^2-bc,
因为bc≤(b+c)^2/4,
所以12=(b+c)^2-bc≥(b+c)^2-(b+c)^2/4,
∴12≥3(b+c)^2/4,b+c≤4.
又因b+c>a=2√3,
所以b+c的取值范围是(2√3,4].

Answer 2

（1）m*n=-(cosA/2)^2+(sinA/2)^2=1/2
化简可得 cosA=-1/2
所以A=2π/3 B+C=π/3
根据正弦定理 c/sinC=b/sinB=a/sinA=2√3 /sin2π/3 =4
所以b+c=4(sinB+sinC)=4(sinB+sin(π/3 - B))=4sin(B+π/3)
取值范围：
0Bπ/3
π/3 B+π/3 2π/3
根据正弦函数图像可以看出 √3/2 sin(B+π/3) =1
当B=C=π/6时取得最大值
所以 b+c 取值范围是（2√3，4 ]
（2）S=1/2 bc sinA =√3/4 bc =√3/4 ((b+c)/2)^2=√3
当b=c=2时，取得最大值4
所以三角形ABC面积最大值是√3