Question

设连续型随机变量X的概率密度函数为为f(x)=1/2*e^(-|x|),-∞<x<+∞

（1）求x与|x|的协方差，并问x与|x|是否不相关？
（2）问x与|x|是否相互独立？为什么？

Answer 1

(1) f(x)是偶函数, 则, xf(x)是奇函数. 所以 E{X} = ∫[-∞,∞] xf(x)dx = 0
x(|x|)f(x)也是奇函数.
X与|X|的协方差 = E{X(|X|)}-E{X}E(|X|) = E{X(|X|)}-(0)E{|X|}
=∫[-∞,∞] x(|x|)f(x)dx = 0
X与|x|不相关.
(2) 但X与|X|不独立.一个例子就够. 当 X=1是, |X|一定也等于1.

追问

请问第二个问题怎么严格证明

请问第二个问题怎么严格证明

追答

想指出一个命题不对，最好的证明就是反例。
再加一个反例： 当 |X|=0.5时, X只能等于-0.5或0.5. 也就是说X的取值范围是被|X|所影响的。因此它们不独立。

Answer 2

E(x)=∫(-∞,+∞)xf(x)dx=0
D(x)=E(x^2)-(E(x))^2=E(x^2)=∫(-∞,+∞)x^2f(x)dx=2∫(0,+∞)x^2f(x)dx
=∫(0,+∞)x^2e^(-x)dx=-x^2e^(-x)︱(0,+∞)-2∫(0,+∞)xe^(-x)dx=2∫(0,+∞)e^(-x)dx
=2
希望能解决您的问题。

追问

看清问题好不好