Question

设函数f（x）=xe kx （k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）

设函数f（x）=xe kx （k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx ，f′（0）=1，f（0）=0， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x； （Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx =0，得x=- 1 k （k≠0）， 若k＞0，则当x∈（-∞，- 1 k ）时， f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（- 1 k ，+∞，）时，f′（x）＞0， 函数f（x）单调递增， 若k＜0，则当x∈（-∞，- 1 k ）时， f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x∈（- 1 k ，+∞，）时， f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当- 1 k ≤-1， 即k≤1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增， 若k＜0，则当且仅当- 1 k ≥1， 即k≥-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增， 综上可知，函数f（x）（-1，1）内单调递增时， k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．