Question

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)（1）求数列{an}的通项an；（2）求数列{n2an}

已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)（1）求数列{an}的通项an；（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；（3）若存在n∈N*，使得an≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1(n∈N*)
所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an（n≥2）------------（1分）
两式相减得na_n=

n+1

2

an+1?

n

2

an
所以

(n+1)an+1

nan

=3（n≥2）------------（2分）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以na_n=2?3^n-2（n≥2）----（3分）
故a_n=

1，n＝1 2 n ?3n?2，n≥2

------------（4分）
（2）由（1）可知当n≥2n²a_n=2n?3^n-2
当n≥2时，T_n=1+4?3⁰+6?3¹+…+2n?3^n-2，------------（5分）
∴3T_n=3+4?3¹+…+2（n-1）?3^n-2+2n?3^n-1，------------（6分）
两式相减得Tn＝

1

2

+(n?

1

2

)?3n?1（n≥2）------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，------------（8分）
所以T_n=

1

2

+(n?

1

2

)3n?1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≥（n+1）λ等价于λ≤

an

n+1

，------------（10分）
由（1）可知当n≥2时，

an

n+1

＝

2?3n?2

n(n+1)

设f（n）=

n(n+1)

2?3n?2

(n≥2，n∈N*)，
则f（n+1）-f（n）=?

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