Question

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使

已知双曲线x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使sinPF1F2sinPF2F1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是______．

Answer 1

不防设点P（x_o，y_o）在右支曲线上并注意到x_o≥a．由正弦定理有

sinPF1F2

sinPF2F1

＝

PF 2

PF 1

，
由双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
则有

exo?a

a+exo

=

a

c

，得x_o=

a(a+c)

ec?ea

＞a，
分子分母同时除以a²，易得：

1+e

e2?e

＞1，
解得1＜e＜

2

+1
故答案为（1，

2

+1）