Question

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．（Ⅰ）根据三视图，画出该几何体的直观图；（Ⅱ）在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC；③求面PAB与面PBC的夹角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）该几何体的直观图如图所示，是一个正四棱锥，其高为

2

，底面边长为2． 
（II）①证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，
∵G为PB的中点，O为BD的中点，
∴OG∥PD．
又OG?面AGC，PD?面AGC，
∴PD∥面AGC．
②连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，
∴AO⊥PO．  
又AO⊥BO，PO∩OB=O．
∴AO⊥面PBD．
∵AO?面AGC，∴面PBD⊥面AGC．
③建立如图所示坐标系，由三视图知，PO=

2

，AB=2，AC=2

2

，AO=

2

，
∴P（0，0，

2

），B（0，

2

，0），A（

2

，0，0），
C（-

2

，0，0），