Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{an}是等比数列，并求an

已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0．n∈N*）（1）证明数列{an}是等比数列，并求an；（2）当a=12时，设bn=Sn+λn+λ2n，试确定实数λ的值，使数列{bn}为等差数列；（3）已知集合A={x|x2-（a+1）x+a≤0}，问是否存在正数a，使得对于任意的n∈N*，都有Sn∈A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当n=1时，（a-1）a₁=a（a₁-1）得a₁=a＞0．
∵（a-1）S_n=a（a_n-1），
∴当n≥2时，（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1），
两式相减得（a-1）a_n=a（a_n-a_n-1），化为a_n=aa_n-1．
∴a_n＞0恒成立，且

an

an?1

＝a(n≥2)，
∴{a_n}是等比数列．
又{a_n}的首项a₁=a，公比为a，
∴an＝an．
（2）当a＝

1

2

时，由（1）得Sn＝

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

＝1?

1

2n

，
∴bn＝1?

1

2n

+λn+

λ

2n

＝1+λn+

λ?1

2n

，
要使{b_n}为等差数列，则b₁+b₃=2b₂，
即1+λ+

λ?1

2

+1+3λ+

λ?1

23

＝2(1+2λ+

λ?1

22

)，
解得λ=1，
又当λ=1时，b_n=n+1，
∴{b_n}为等差数列，
综上所述：λ=1．
（3）若a=1，则A={1}，S_n=n，∴S₂?A，不合题意；
若a＞1，则A=[1，a]，S2＝a+a2＞a，∴S₂?A，不合题意；
若0＜a＜1，则A=[a，1]，Sn＝a+a2+…+an=

a(1?an)

1?a

=

a

1?a

?

a1+n

1?a

．
∴Sn∈[a，  

a

1?a

)．
要使S_n∈A，则

0＜a＜1 a 1?a ≤1

，解得，0＜a≤

1

2

．
综上所述，满足条件的正数a存在，a的取值范围为(0，  

1

2

]．