设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足∫ x af(t)dt≥∫ x ag(t)dt，x∈[a，b），∫ b af(t)d...
设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足∫xaf(t)dt≥∫xag(t)dt，x∈[a，b），∫baf(t)dt＝∫bag(t)dt．证明：∫baxf(x)dx≤...
设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足∫ x af(t)dt≥∫ x ag(t)dt，x∈[a，b），∫ b af(t)dt＝∫ b ag(t)dt．证明：∫ b axf(x)dx≤∫ b axg(x)dx．
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令F（x）=f （x）-g（x），G(x)＝
F(t)dt，
则：G(x)＝
F(t)dt=
[f(t)?g(t)]dt
由题设
f(t)dt≥
g(t)dt；
因此：G（x）≥0，x∈[a，b]，
易知：G（a）=
F(t)dt=0
G（b）=
F(t)dt=
f(t)dt-
g(t)dt=0'
又G'（x）=f（x）-g（x）=F（x）．
因此：
xF(x)dx＝
xdG(x)＝
?
G(x)dx＝?
G(x)dx，
由于 G（x）≥0，x∈[a，b]，故有?
G(x)dx≤0，
即
xF(x)dx≤0．
因此
xf(x)dx≤
xg(x)dx．
命题得证．
| ∫ | x a |
则：G(x)＝
| ∫ | x a |
| ∫ | x a |
由题设
| ∫ | x a |
| ∫ | x a |
因此：G（x）≥0，x∈[a，b]，
易知：G（a）=
| ∫ | a a |
G（b）=
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
又G'（x）=f（x）-g（x）=F（x）．
因此：
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
| xG(x)| | b a |
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
由于 G（x）≥0，x∈[a，b]，故有?
| ∫ | b a |
即
| ∫ | b a |
因此
| ∫ | b a |
| ∫ | b a |
命题得证．
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