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(1) 必要性：以σ的特征向量为基，那么σ和τ的表示矩阵都是对角阵
充分性：若σ(x)=λx，x≠0，那么σ(τ(x))=τ(σ(x))=λτ(x)，即τ(x)也是σ关于λ的特征向量，所以存在常数μ使得τ(x)=μx，即x是τ的特征向量
(2) 以σ的特征向量为基，那么σ和τ的表示矩阵分别是对角阵diag{λ1,...,λn}，diag{μ1,...,μn}
然后取一个不超过n-1次的多项式f使得f(λ1)=μ1, ..., f(λn)=μn
那么τ=f(σ)
充分性：若σ(x)=λx，x≠0，那么σ(τ(x))=τ(σ(x))=λτ(x)，即τ(x)也是σ关于λ的特征向量，所以存在常数μ使得τ(x)=μx，即x是τ的特征向量
(2) 以σ的特征向量为基，那么σ和τ的表示矩阵分别是对角阵diag{λ1,...,λn}，diag{μ1,...,μn}
然后取一个不超过n-1次的多项式f使得f(λ1)=μ1, ..., f(λn)=μn
那么τ=f(σ)
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2025-01-06 广告
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