Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； （3）当：△ABD∽△DCE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1， ∴∠ABC=∠ACB=45°． ∵∠ADE=45°， ∴∠BDA+∠CDE=135°． 又∠BDA+∠BAD=135°， ∴∠BAD=∠CDE． ∴△ABD∽△DCE． （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴ ； ∵BD=x， ∴CD=BC﹣BD= ﹣x． ∴ ， ∴CE= x﹣x 2 ． ∴AE=AC﹣CE=1﹣（ x﹣x 2 ）=x 2 ﹣ x+1．即y=x 2 ﹣ x+1． （3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°， ∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE． 又∵△ABD∽△DCE， ∴△ABD∽△DCE． ∴CD=AB=1． ∴BD= ﹣1． ∵BD=CE， ∴AE=AC﹣CE=2﹣ ． 当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA． ∵∠ADE=45°， ∴此时有∠DEA=90°． 即△ADE为等腰直角三角形． ∴AE=DE= AC= ．AE的长为2﹣ 或 ．