Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y.（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△FED是直角三角形时，求x的值.

Answer 1

（1） ；（2）40；（3）30.

试题分析：（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得∠C=30°，从而在Rt△CDF中，再应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可得y与x的函数关系式. （2）根据菱形四边相等的性质，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解. （3）首先判断△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出 ，解之即为所求. 试题解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30， ∴ .∴∠C=30°.∴ . ∴y与x的函数关系式为 . （2）当四边形AEFD为菱形时，有AD=DF， ∴AC－CD=DF，即 ，解得x=40. ∴当四边形AEFD为菱形时，x=40. （3）如图，当△FED直角三角形是时，只能是∠FDE=90°， ∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB. 又∵FE//AC，∴四边形AEFD为平行四边形. ∴AE=DF. 由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC. ∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°. 在Rt△BOC中， ，即60－x=x， ∴x=30. ∴当△FED是直角三角形时，x=30.

Answer 2

(1)sinC=DF/CD=AB/AC=1/2
∴DF=CD/2,即y=x/2
(2)当四边形ADFE为菱形时,有AD=DF
即60-y=x

把y=x/2代入上式,解得x=40
(3)当∠EDF=90°时,四边形BEDF是矩形
∴DE=BF
而四边形CDEF是平行四边形,∴CF=DE
∴CF=BF,即F是BC中点
∴D是AC中点,CD=x=AC/2=30