Question

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：ACBF＝CDBD．（2）若BD=4，CD=3，求BE?AC的值．

Answer 1

（1）证明：连接DM．
在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA，
∴∠MDA=∠MAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠DAC，
∴∠MDA=∠DAC，
∴MD∥AC，
∵AC⊥BC，BF⊥BC，
∴BF∥AC，
∴DM∥BF∥AC，
∴

AM

BM

＝

CD

BD

，△ACM∽△BFM，
∴

AM

BM

＝

AC

BF

，
∴

AC

BF

＝

CD

BD

．

（2）解：∵∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴BE?AC=BD?DC=4×3=12．