Question

如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径R=0.5m．一质量m=1.0kg的小球（可以看成质点）从离地高度h

如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径R=0.5m．一质量m=1.0kg的小球（可以看成质点）从离地高度h=1.0m的A点水平射出，恰能沿圆弧轨道上B点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OB与竖直线的夹角θ=53°．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2．试求：（1）小球从A点到B点的时间t；小球从A点水平射出时的速度大小V0；（2）小球从射出点A到圆轨道入射点B之间的距离L；（结果可用根式表示）（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点D时对轨道的压力大小和方向．

Answer 1

（1）B点的高度 h_B=R（1-cos53°）=0.2m
A到B：h-h_B=

1

2

gt2，t=0.4s 
在B点的竖直速度 Vy=gt=4 m/s                                 
水平速度  V₀=Vycot53°=3m/s                               
（2）A到B的水平距离：x=V₀t=1.2m                                  
A到B的距离：L=

x2+(h?hB)2

=

2.08

m
（3）A到D过程中，由机械能守恒定律得：
V_D=V₀=3 m/s                                                  
小球重力 mg=10 N
在D点的向心力 F_A=m

v2

R

＝18N
小球受到轨道的弹力F_D=F_A-mg=8 N  竖直向下                   
由牛顿第三定律可得，小球在D点时对轨道的压力为：
F_D′=F_D=8 N  竖直向上                                       
答：（1）小球从A点到B点的时间为0.4s；小球从A点水平射出时的速度大小为3m/s；
（2）小球从射出点A到圆轨道入射点B之间的距离L为

2.08

m；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点D时对轨道的压力大小为8N和，方向竖直向上．