Question

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此质点的速度为v03？并求到此时刻质点所经过的路程．

Answer 1

设该单位质点的运动速度为v（t）．
根据质点受力及牛顿第二定律可得：
-v=f=ma=m

dv

dt

=

dv

dt

又有初值条件：

v|t=0=v0 s|t=0=0

因此，可解微分方程-v=f=ma=m

dv

dt

=

dv

dt

-dt=

dv

v

-t=ln|v|+c=lnv+c，c为常数
代入初始条件v|_t=0=v₀，
可得c=-lnv₀
所以，-t=ln

v

v0

，即v=v0e-t
因此，此质点的速度为v=

v0

3

时，有
t=-ln

v

v0

=-ln

1 3 v0

v0

=-ln

1

3

=ln3
因此，t为ln3时此质点的速度为

v0

3

．
到此时刻质点所经过的路程
s=

∫

t 0

vdt=

∫

ln3 0

v0e-tdt=-v0e-t

|

ln3 0

=v0-v0e-ln3=v0-

1

3

v0=

2

3

v0．