Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是______；（

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是______；（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B-90°．
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°-2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B-90°．
（3）如图：

①∵MN垂直平分AB．
∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14 cm，
∴AC+BC=14 cm，
∴BC=6 cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

Answer 2

(1)∠B=∠C=70º
∠A=180º-70º-70º=40º
Rt△AMN中，∠ANM=90º,∠A=40º
∴∠NMA=180º-90º-40º=50º
(2)连BM
∵MN是△ABM的AB边上的中垂线
∴∠NMA=∠NMB
∠AMB=2∠NMA=∠C+∠MBC(△外角=不相邻内角之和）
∠MBC=∠B-∠A=∠B-(180º-2∠B)=3∠B-180º
2∠NMA=∠C+∠MBC=4∠B-180º
2∠B-∠NMA=90º
（3）

①根据（2）
AM=BM
AC=AB=AM+MC=8
BC=14-8=6(cm)
②假设P点在 M或N

P点在 M时，BP+CP=BM+CM=8
P点在 N时，BP+CP=BN+CN=4+CN
CN>CM,∴BP+CP>8
因此P点在 M时，BP+CP的值最小，最小值为8（cm）