Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）＞0；（2）求证：f（x）为减函数；（3）当f（4）=116时，解不等式f（x-3）?f（5）≤14．

Answer 1

（1）证明：f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f²（

x

2

）＞0，
（2）证明：任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，
则f（x）为减函数；
（3）由f（4）=f²（2）=

1

16

，则f（2）=

1

4

，
原不等式转化为f（x-3+5）≤f（2），
结合（2）得：x+2≥2，
∴x≥0；
故不等式的解集为{x|x≥0}．