Question

已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围(?2，23)(?2，23)

已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围(?2，23)(?2，23)．

Answer 1

由题意得，函数的定义域是R，
且f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
又f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）在R上单调递增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化为：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）递增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
则对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以

?2x+x?2＜0 2x+x?2＜0

，解得-2＜x＜

2

3

，
即x的取值范围是(?2，

2

3

)，
故答案为：(?2，

2

3

)．