Question

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2-2y+3）+f（x2-4x+1）≤0，则当y≥l时，yx+1的取值范围是[14，34

已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2-2y+3）+f（x2-4x+1）≤0，则当y≥l时，yx+1的取值范围是[14，34][14，34]．

Answer 1

∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f'（x）=1-cosx≥0，
∴函数单调递增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．

y

x+1

的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．
设k=

y

x+1

，（k＞0）
则y=kx+k，即kx-y+k=0．
当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=

|2k?1+k|

1+k2

=

|3k?1|

1+k2

=1，
即8k²-6k=0，解得k=

3

4

．此时直线斜率最大．
当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=

1

4

，
∴

1

4

≤k≤

3

4

，
故答案为[

1

4

，

3

4

]．