Question

设f（x）在（-∞，+∞）内连续，则下列函数必为偶函数的是（　　）A．∫x0f(t2)dtB．∫x0t[f(?t)+f(t)]dt

设f（x）在（-∞，+∞）内连续，则下列函数必为偶函数的是（　　）A．∫x0f(t2)dtB．∫x0t[f(?t)+f(t)]dtC．∫x0t[f(t)?f(?t)]dtD．∫x0[∫ua[f(t2)dt]]du

Answer 1

①选项A．设f（t）=t，则f（t²）=t²，因此

∫

x 0

f(t2)dt=

1

3

x3，是奇函数，故A不正确．
②选项B．设F(x)＝

∫

x 0

t[f(?t)+f(t)]dt，则F(?x)＝

∫

?x 0

t[f(?t)+f(t)]dt

令u＝?t

.

  ?

∫

x 0

(?u)[f(u)+f(?u)]du=F（x）
∴

∫

x 0

t[f(?t)+f(t)]dt为偶函数
故B正确．
③选项C．设F(x)＝

∫

x 0

t[f(t)?f(?t)]dt，则F(?x)＝

∫

?x 0

t[f(t)?f(?t)]dt

令u＝?t

.

  ?

∫

x 0

(?u)[f(?u)?f(u)]du=?

∫

x 0

u[f(u)?f(?u)]du＝?F(x)
∴

∫

x 0

t[f(?t)+f(t)]dt为奇函数
故C不正确
④选项D．f（t²）=t²，因此

∫

u a

f(t2)du=

1

3

[u3?a3]，从而

∫

x 0

[

∫

u a

[f(t2)dt]]du＝

1

3

(

1

3

x4?a2x)是非奇非偶函数，
故D不正确
故选：B．