Question

设f(x)为定义在(-∞,+∞)上的周期函数,且limf(x)=0,证明f(x)在(-∞,+∞)上恒为零

设f(x)为定义在(-∞,+∞)上的周期函数,且limf(x)=0,证明f(x)在(-∞,+∞)上恒为零

Answer 1

设函数周期为T>0。若有a，使f(a)不为0，则选取xn=a+nT，则当n趋向无穷时xn趋向无穷，而f(xn)=f(a+nT)=f(a)不趋向0，与假设矛盾。所以对任意a,f(a)=0,即所求证。