Question

正三角形内切圆半径与外接圆半径及此正三角形高线之比为______

正三角形内切圆半径与外接圆半径及此正三角形高线之比为______．

Answer 1

如图，△ABC是等边三角形，AD是高． 点O是其外接圆的圆心， 由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心． ∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°， ∴BO=2OD，而OA=OB， ∴AD=3OD， ∴OD：OA：AD=1：2：3．故填1：2：3．

Answer 2

假设边长为a
∵正三角形的中线、高线、角平分线三线合一，其重心、内心、外心三心合一
∴内切圆半径、外切圆半径、边长之半构成以外切圆半径为斜边的直角三角形，内切圆半径所对的角为30°，于是：
内切圆半径：r内=(a/2)tan30°
=(a/2)√3/3
=√3/6a
外切圆半径：r外=(a/2)/cos30°
=(a/2)/(√3/2)
=√3/3a
边长、高线、边长之半构成以边长为斜边的直角三角形，高线所对的角为60°，于是：
高线h=asin60°
=√3/2a
因此，r内：r外：h=(a/2)√3/3:√3/3a:√3/2a
=1:2:3