Question

已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)an2，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=lnan，是否存在k（k

已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)an2，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=lnan，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝

(n+1)an

2

?

nan?1

2

，（2分）
即

an

n

＝

an?1

n?1

（n≥2）．（4分）
所以数列{

an

n

}是首项为

a1

1

＝1的常数列．（5分）
所以

an

n

＝1，即a_n=n（n∈N^*）．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*）．（7分）
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，
则b_kb_k+2=b_k+1²．（8分）
因为b_n=lna_n=lnn（n≥2），
所以bkbk+2＝lnk?ln(k+2)＜[

lnk+ln(k+2)

2

]2＝[

ln(k2+2k)

2

]2
＜[

ln(k+1)2

2

]2＝[ln(k+1)]2＝

b

2 k+1

．（13分）
这与b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．（14分）