Question

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y）

已知定义在集合（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0 求证：（1）对任意的x∈（0，+∞），有f（1x）=-f（x）；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

（1）∵对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），
∴x=y=1时，f（1?1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
∵1=

1

x

?x，
∴f（

1

x

?x）=f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（2）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

?x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₂＜x₁
∴

x1

x2

＞1，又当x＞1时有f（x）＞0
∴f（

x1

x2

）＞0即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）函数在（0，+∞）是单调增函数．