Question

设函数f（x）=|x-2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使

设函数f（x）=|x-2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由于函数f（x）=|x-2a|，由不等式f（x）＜1，可得-1＜x-2a＜1，解得2a-1＜x＜2a+1．
再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得 2a-1=1，且2a+1=3，解得a=1．
（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x-2a|＜3-x有解，即 x-3＜x-2a＜3-x有解，
即

x?2a＜3?x x?3＜x?2a

有解，即

2x＜2a+3 ?3＜?2a

有解，故有a＜

3

2

，即a的范围为（-∞，

3

2

）．