Question

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（

椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N，求证：直线MN经过一定点．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
∴e＝

c

a

＝

3

2

，
∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，
∴

2b2

a

=1，…（2分）
解得a²=4，b²=1，
∴∴椭圆的方程

x2

4

+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，
∴A（-2，0），B（2，0），设P（1，t），
则kPA＝

t?0

1+2

＝

t

3

，直线lPA：y＝

t

3

(x+2)，
联立得：

y＝ t 3 (x+2) x 2 4 +y2＝1.

整理，得（4t²+9）x²+16t²x+16t²-36=0，
∴?2x

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