Question

等差数列{an}的各项为正，其前n项和为Sn，且S3=9，又a1+2、a2+3、a3+7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通

等差数列{an}的各项为正，其前n项和为Sn，且S3=9，又a1+2、a2+3、a3+7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：当n≥2时，1a12+1a22+…+1an2＜54．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₃=9，∴a₂=3，
∴a₁+2=3-d+2=5-d，
a₂+3=6，a₃+7=3+d+7=10+d，
∵a₁+2、a₂+3、a₃+7成等比数列，
∴（5-d）（10+d）=36，解得d=2，或d=-7（舍去），
a_n=3+（n-2）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵

1

an2

＝

1

(2n?1)2

=

1

4n2?4n+1

＜

1

4n2?4n

=

1

4n(n?1)

=

1

4

(

1

n?1

?

1

n

)，
∴当n≥2时，

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

＜1+

1

4

[(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n?1

?

1

n

)]
=1+

1

4

(1?

1

n

)＜1+

1

4

=

5

4

．