Question

已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）若BQ⊥AD于Q，

已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

AB＝CA  ∠BAC＝∠C AE＝CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP
即∠BPQ=∠BAC=60°，
又∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12．
∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．