Question

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-C1DE的体积．

Answer 1

解：（1）设AB₁与A₁B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA₁B₁的中位线，∴EF∥=

1

2

A₁A．
∵C₁D∥=

1

2

A₁A，∴EF∥=C₁D，则四边形EFDC₁为平行四边形，∴DF∥C₁E．
∵C₁E?平面A₁BD，DF?平面A₁BD，∴C₁E∥平面A₁BD．
（2）取BC的中点H，连接AH，B₁H，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，知AH⊥BC，
∵B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AH．∵B₁B∩BC=B，∴AH⊥平面B₁BCC₁．∴AH⊥BD．
在正方形B₁BCC₁中，∵tan∠BB₁H=tan∠CBD=

1

2

，∴∠BB₁H=∠CBD．则B₁H⊥BD．
∵AH⊥∩B₁H=H，∴BD⊥平面AHB₁．∴BD⊥AB₁．
在正方形A₁ABB₁中，∵A₁B⊥AB₁．而A₁B∩BD=B，∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）∵E为AB的中点，∴VA1?C1DE＝VD?A1EC1＝

1

2

VD?A1B1C1＝

1

2

×

1

3

×

3

4

×22×1＝

3

6

．