Question

如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BD为半径R=4m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上

如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BD为半径R=4m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，在A点处的一质量m=1kg的小球由静止滑下，经过B、C点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点处时的速度大小vS=8m/s，已知A点距地面的高度H=10m，B点距地面的高度h=5m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10m/s2，cos53°=0.6，（1）小球经过B点的速度为多大？（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大？（3）小球从D点抛出后，受到的阻力f与其瞬时速度方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中，阻力f所做的功．在此过程中小球的运动轨迹是抛物线吗？

Answer 1

（1）设小球经过B点时的速度大小为v_B，由机械能守恒得：mg（H-h）=

1

2

m

v

2 B

求得：v_B=

2g(H?h)

=

2×10×(10?5)

=10m/s．
（2）设小球经过C点时的速度为v_C，在C点，根据牛顿第二定律可得：
  N-mg=m

v 2 C

R

由机械能守恒得：mgR（1-cos53°）+

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

由以上两式求得：N=43N．
由牛顿第三定律得：小球对轨道的压力为N′=N=43N
（3）设小球受到的阻力为f，到达S点的速度为v_S，在此过程中阻力所做的功为W，易知v_D=v_B，由动能定理可得：
mg  mgh+W=

1

2

m

v

2 S

-

1

2

m

v

2 D

求得W=-68J             
小球从D点抛出后，只受重力做斜抛运动，其轨迹是抛物线．
答：
（1）小球经过B点的速度为10m/s．
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力是43N．
（3）小球从D点至S点的过程中，阻力f所做的功是-68J．在此过程中小球的运动轨迹是抛物线．