Question

已知函数f （x）=x 2 +2x+1，若存在t，当x∈[1，m]时，f （x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值为______

已知函数f （x）=x 2 +2x+1，若存在t，当x∈[1，m]时，f （x+t）≤x恒成立，则实数m的最大值为______．

Answer 1

设g（x）=f（x+t）-x=x 2 +（2t+1）x+（1+t） 2 ， 由题值f（x+t）-x≤0恒成立即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得： t∈[-3，-1]，m 2 +（2t+1）m+（t+1） 2 ≤0， 即当t=-1时，得到m 2 -m≤0，解得0≤m≤1；当t=-3时，得到m 2 -5m+4≤0，解得1≤m≤4 综上得到：m∈[0，4]，所以m的最大值为4 故答案为4