Question

如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB， DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F

如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB， DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE ∥ AC，且DE=1，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线， ∴∠EAD=∠DAF． ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴∠DEA=∠DFA=90° 又AD=AD， ∴△DEA≌△DFA． ∴EA=FA ∵ED=FD， ∴AD是EF的垂直平分线． 即AD⊥EF． （2）∵DE ∥ AC， ∴∠DEA=∠FAE=90°． 又∠DFA=90°， ∴四边形EAFD是矩形． 由（1）得EA=FA， ∴四边形EAFD是正方形． ∵DE=1， ∴AD= 2 ．