Question

已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3 ，a 5 是方程x 2 -14x+45=0的两根，数列{b n }的前n项的和为S n

已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3 ，a 5 是方程x 2 -14x+45=0的两根，数列{b n }的前n项的和为S n ，且S n = 1 -b n 2 （n∈N * ）．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n =a n ?b n ，求证：c n+1 ＜c n （3）求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵等差数列{a n }的公差大于0，且a 3 ，a 5 是方程x 2 -14x+45=0的两根， ∴a 3 =5，a 5 =9，∴ d= a 5 - a 3 5-3 =2 ∴a n =a 5 +2（n-5）=2n-1 ∵S n = 1 -b n 2 ，∴n≥2时，b n =S n -S n-1 = b n-1 - b n 2 ，∴ b n b n-1 = 1 3 ∵n=1时，b 1 =S 1 = 1 -b 1 2 ，∴b 1 = 1 3 ∴b n = 1 3 ? ( 1 3 ) n-1 = ( 1 3 ) n ； （2）证明：由（1）知c n =a n ?b n = 2n-1 3 n ∴c n+1 -c n = 2n+1 3 n+1 - 2n-1 3 n = 4(1-n) 3 n+1 ≤0 ∴c n+1 ＜c n （3）T n = 1 3 + 3 3 2 +…+ 2n-1 3 n ∴ 1 3 T n = 1 3 2 +…+ 2n-3 3 n + 2n-1 3 n+1 两式相减可得： 2 3 T n = 1 3 + 2 3 2 +…+ 2 3 n - 2n-1 3 n+1 = 3 2 - 3 2 ? n+1 3 n ∴T n = 1- n+1 3 n ．